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数学王国的吹笛人---希尔伯特（原创，中篇）

已有 776 次阅读2015-11-28 07:11 |系统分类:科学普及 | 宽屏请点击显示宽屏，再点击恢复窄屏 | 动漫全图如只见部分动漫，请点击显示全图，再点击恢复窄图

夺标按：非常喜欢数学和数学史，这是我自幼起的业余阅读爱好。数学与逻辑学小品有一种回味无穷的智慧美和愉悦感。希尔伯特是我最喜欢的数学家（其次是馮‧諾依曼、維納；女数学家里最爱诺特），他和爱因斯坦、费曼一样，给数理科学祛了魅，所以说他就象格林童话里那个驱除中世纪鼠疫的花衣服吹笛子的人，让普通人能了解其中的funs，这对于女性和孩子来说很重要！

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希爾伯特〈Hilbert，1862.1.23—1943.2.14，德國〉是一位德國數學家，1862年1月23日出生於德國的哥尼斯堡。這座古老而美麗的城堡，曾因七橋問題而名揚歐洲。可是十九世紀時，那裡的學校卻很少傳授數學知識，主要開一些死記硬背的課程。希爾伯特上學後，由於不善於死記硬背，常常被人取笑，說他是一個反應遲鈍的“鄉下佬”。漸漸地，希爾伯特愛上了數學，因為他發現學習數學根本不需要去死記硬背。

1880年秋天，希爾伯特考上了哥尼斯堡大學，他不顧父親的反對，毅然選擇了數學專業。15年後，他當上了哥廷根大學的數學教授。在當時最引人矚目的幾個數學領域裡，希爾伯特都作出了卓越的貢獻。例如在幾何學裡，歐幾里得的《幾何原本》曾一直被奉為至高無上的權威，忽然羅氏幾何學出現了，否定了《幾何原本》裡一個最基本的結論，掀起了一長翻天覆地的革命；緊接著，黎曼幾何學出現了，又展示了一條條令人難以置信的數學真理……，一貫以邏輯嚴謹著稱的幾何學裡，一時間眾說紛紜，極為混亂。是希爾伯特，把創造活力與邏輯力量神奇地結合起來，重新把幾何學推上了一個有條理的世界。希爾伯特由此發起的“公理化運動”，還深刻影響了現代數學。

不到40歲，希爾伯特已成為世界文明的數學大師。他所在的哥廷根大學，是大數學加高斯長期工作過的地方，在希爾伯特等人的努力下，它重振雄風，又一次成為著名的世界數學研究中心，更成為著名數學家的搖籃，諾特、韋爾、馮‧諾依曼、維納、哈爾等一批20世紀第一流的數學家，都曾在哥廷根大學學習或工作過。

1900年8月6日，第二屆國際數學家大會在巴黎開幕了。大會的第三天，38歲的希爾伯特健步登上了講台。

人們以為，這位天才的數學大師，一定會以一篇優異的數學論文，來回答國際數學界，作為他獻給新世紀的禮物。不料希爾伯特一開口就問道：「有誰不想揭開未來的面紗，探索新世紀裡，我們這門科學發展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數學思潮將追求什麼樣的特殊目標？在廣闊而豐富的數學思想領域，新世紀將會帶來什麼樣的新方法和新成就？」

這是一個多麼激動人心的演講啊！

希爾伯特認為：「正如人類的每項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。」重要問題歷來是推動數學前進的槓桿之一，常常會導致數學新分支的發生。例如，研究最速降落線問題，導致了現代數學分支—變分法的產生；研究“費爾馬大定理”，大大推動了代數數論研究的進展。

於是，希爾伯特向到會的200多名數學家，也向國際數學界提出了23個數學問題！這23個問題後來被稱作“希爾伯特問題”，它們非常艱深，包括算術公理的相容性問題、康托的連續統假設、哥德巴赫猜想等一些著名的數學難題。有不少一般人連題目都看不懂的問題。希爾伯特認為：它們是新世紀裡數學家應當努力解決的。

希爾伯特的演說轟動了國際數學界，使這次大會成為數學史上一個重要的里程碑。“希爾伯特就像穿染色衣服的風笛手，用那甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的老鼠，跟著他跳進了數學的深河。”

大批數學家投入到解決希爾伯特問題的激流中來，在希爾伯特發表演說的當年，他的學生麥克斯‧戴斯就率先解決了第三問題。80多年來，大約有一般問題獲得了圓滿的解決，有幾個問題比較籠統，難以斷定解決與否，但仍有約三分之一的問題懸而未決，繼續考驗著數學家們的智慧和意志。

希爾伯特是一位出色的“風笛手”，像他那樣自覺而集中地提出一大批問題，持久而深刻地影響一門科學發展的人，在整個科學史上都是極為罕見的。

二、在數學史上的貢獻與地位：

希爾伯特發起“公理化運動”，重新把幾何學推上了一個有條理的世界。他於1899年的名著《幾何基礎》，用近代觀點建立了歐幾里得幾何的公理體系，是一項劃時代的工作。

提出23個所謂的“希爾伯特問題”左右了二十世紀以降，數學發展的脈動。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。

以下列出希尔伯特的23个问题：

#	主旨	进展	说明
第1题	连续统假设	部分解决	1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
第2题	算术公理之相容性	已解决	库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。
第3题	两四面体有相同体积之证明法	已解决	希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的。
第4题	建立所有度量空间使得所有线段为测地线	太隐晦	希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
第5题	所有连续群是否皆为可微群	已解决	1953年日本数学家山边英彦已得到完全肯定的结果。
第6题	公理化物理	非数学	对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。
第7题	若b是无理数、a是非0、1代数数，那么ab是否超越数	已解决	分别于1934年、1935年由盖尔范德与Schneider独立地解决。
第8题	黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想	未解决	虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况（详见各条目），三个问题均仍未被解决。
第9题	任意代数数域的一般互反律	部分解决	1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米尔·阿廷（E.Artin）各有部份解答。
第10题	不定方程可解性	已解决	1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第11题	代数系数之二次形式	已解决	有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。
第12题	扩展代数数	已解决	1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。
第13题	以二元函数解任意七次方程	已解决	1957年柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺德证明其不可能性。
第14题	证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性	已解决	1962年日本人永田雅宜提出反例。
第15题	舒伯特演算之严格基础	部分解决	一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。
第16题	代数曲线及表面之拓扑结构	未解决
第17题	把有理函数写成平方和分式	已解决	1927年埃米尔·阿廷（Emil Artin）已解决实封闭域。
第18题	非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列	部分解决	1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”。
第19题	拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic）	已解决	1904年由俄国数学家伯恩施坦‎解决。
第20题	所有有边界条件的变分问题（Variational problem）是否都有解	已解决
第21题	证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group）	已解决
第22题	将解析关系（analytic relations）以自守函数一致化	已解决	1904年由保罗·科比和庞加莱取得解决。
第23题	变分法的长远发展	未解决

21世纪七大数学难题大卫·希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向，其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。20世纪是数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决，如费马大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得一百万美元的奖励。克雷数学研究所“千年大奖问题”的选定，其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，97年费尔兹奖获得者伽沃斯以“数学的重要性”为题作了演讲，其后，塔特和阿啼亚公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的详述。克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。）“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 “千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。

难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

难题”之二：霍奇(Hodge)猜想

难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想

难题”之四：黎曼(Riemann)假设

难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
NO:1 庞加莱猜想在1904年发表的一组论文中，庞加莱提出以下猜想：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对庞加莱猜想的証明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间產生影响。

NO:2 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一。1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：a.任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个素数之和。b.任何一个大于9的奇数都可以表示成三个素数之和。这就是哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 NO:3 NP完全问题数学上著名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NP COMPLETE”问题，简单的写法，是 NP=P？的问题。问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等於P。证明其中之一，便可以拿百万美元大奖。这个奖还没有人拿到，也就是说，NP问题到底是Polynomial，还是Non-Polynomial，尚无定论。NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。 p（多项式算法）问题对np（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（stephencook）于1971年陈述的。

色猜想这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。 NO:5 黎曼假设黎曼猜想，即素数的分布最终归结为所谓的黎曼ζ函数的零点问题。黎曼在1859年在论文《在给定大小之下的素数个数》中做出这样的猜想：ζ（z）函数位于0≤ｘ≤1之间的全部零点都在ReZ＝1/2之上，即零点的实部都是1/2，这至今仍是未解决的问题。 NO:6 杨－米尔斯存在性和质量缺口量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。 NO:7 纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。最深奥的数学是人类知识的精华贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔猜想数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

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