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日志

奥数比赛,难题求解(三) --- 证明中间条件

热度 1已有 567 次阅读2015-7-26 12:29 |个人分类:逻辑分析|系统分类:原创博文 | 宽屏 请点击显示宽屏,再点击恢复窄屏 | 动漫全图 如只见部分动漫,请点击显示全图,再点击恢复窄图

原题可见:《奥数比赛,难题求解(一) --- 题目
题解可见:《奥数比赛,难题求解(二) --- 题解

由上面题解中,题目已经得到证明,在两个假定之上:
P在BC的延长线上且:PHHQ我们来验证这两个假定。



证明:

1)。P在BC的延长线上

过D,H,K三点的圆,其圆心P在在BC的延长线上,这是显而易见的事实:HF=DF,即:三角形的垂心到一边的距离,等于这边上的高线的延长线从垂足到外接圆的长度。我们可以认为这是一条定理,也很容易证明。下图中:

连接DC,延长CH交AB于E,则,AE是AB的高线:ABAE。此时,ΔCHF\congΔCDF,这是因为,两个都是直角三角形,有一个共同的边,且:CHF=CDF (CHF=90°-ECB=ABC=ADC(圆周角定理)=CDF

于是:HF=DF,ΔPHF\congΔPDF,P与BC共线,证毕。


2)。PHHQ

过H点做:直线RHTPH,相交于圆r于R,T,则RHT切圆KHD于切点H。于是:RHK=HDK(弦切角定理)=ADK=AQ’K,于是: AQ’RT

显而易见:AQ’QA’(因为AA'和QQ’分别是圆的直径),所以:QA’RT。又因为:QHMA’四点共线所以过H点的两条平行直线:QHMA’RHT共线,即有:PHHQ,证毕。





注意:上面证明中,仍旧有两条:1)。QHMA’四点共线;2)。KHQ’三点共线;待证,见本文:(四)。

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发表评论 评论 (1 个评论)

回复 夺标 2015-7-26 13:31
我真的在慢慢看,下次跟我哥哥网络聊天时候有话题了。

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