今天是圆周率日:古人是怎么算出了3.14的？

大千世界

2018-03-14 15:00:23　来源: 网易科学人

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来源：中国数学会（微信ID：CMS-1935）

π 是数学中最著名的数。 忘记自然界中所有其他常数也不会忘记它， π 总是出现在名单中的第一个位置。如果数字也有奥斯卡奖， 那么π  肯定每年都会得奖。

π 或 pi， 是圆周的周长和它的直径的比值。它的值，也就是这两个长度之间的比值，不取决于圆周的大小。无论圆周是大是小，π 的值都是恒定不变的。 π 产生于圆周中，但是在数学中，它却无处不在，甚至涉及那些和圆周毫不相关的地方。

锡拉库扎的阿基米德

人们在古时候就对圆周周长和直径的比值产生了浓厚的兴趣，在公元前2000年左右，巴比伦人发现了周长大约是直径的三倍。

关于 π 的数学理论，真正开始于锡拉库扎的阿基米德，大约在公元前225年左右，阿基米德就是在那里完成他伟大的创举的。数学家们喜欢评价同行的等级，他们认为阿基米德可以与卡尔·弗里德里希·高斯（数学王子）和艾萨克牛顿齐名，不管这种评价有何价值，阿基米德应该位列任何数学名人堂中是毋庸置疑的，但是他并没有被完全处于数学的象牙塔里，他对于天文学，数学物理学也都有很高的造诣，他还设计了战争武器，例如弹射器，杠杆，以及一种火镜，这些都是为了不让罗马人进犯. 但是据说他身上具有教授们所常有的心不在焉的特质，否则当他发现了流体静力学中的浮力定律时是什么使得他从浴盆里跳出来，连衣服都不穿，就冲到大街上大喊“Eureka”（拉丁语“我发现了”）？但是我们找不到关于他如何庆祝 π 的发现的记录。

当把 π 定义为周长和直径的比值后，如何进一步计算圆的面积呢？通过推导，可以得到半径为 r 的圆的面积为 πr^2, 或许这一点比周长 / 直径给出的定义更加有名.  π 对周长和面积的双重职责是非常重要的.

这个结论是如何证明的呢？周长可以被切分为很多狭长的三角形底边边长为 b，高度近视为半径 r. 它们在原内部形成了一个多边形，圆的面积可以近似为这个多边形的面积，让我们首先将圆划分成1000个三角形. 推导过程都将是近似操作. 我们可以将每对相邻的三角形，拼成一个矩形(近似地), 它的面积为 b x r. 那么整个多边形的面积将是500 x b x r. 由于500 x b 约等于半圆的周长，它的长度是 π r, 在整个多边形的面积为，π r x r = πr^2. 划分的三角形越多，近似值会越接近实际值. 最后在极限上我们可以得出圆的面积为 πr^2.

阿基米德估算出 π 的值处在223/71和220/70之间. 正是因为阿基米德，我们有了大家所熟知的 π 的近似值22/7. 关于设计 π 这个符号的荣誉要归功于很少人知道的威廉·琼斯, 他是一个威尔士数学家, 在18世纪成了伦敦皇家学会的副主席. 物理学家和数学家欧拉在圆周率的使用中将 π推广开来.

π 的精确数值

我们永远无法知道派的精确数值，因为它是一个无理数，这一点被约翰·兰伯特于1768年证明. π 的小数展开是无穷无尽的，并且没有可预测的模式，它的前20位是3.141592653879323846... 中国数学家所采用的 √10的数值为: 3.16227766016837933199, 这个值在公元500年左右被婆罗摩笈所采用. 事实上，这个只比3这个粗略近似值要好一些，它和派相比，它和 π 相比到小数点后第二位才不相同，

π 可以从一个数列计算. 一个著名的数列展开式

但是这个数列需要一个很痛苦漫长的过程，才能收敛到 π 计算是几乎不可能的，欧拉找到了一个可以收敛到 π 的重要序列:

自学成才的天才拉马努金想出一个漂亮的派的近似公式. 这个式子里仅涉及2的平方根:

数学家对 π 是如此的着迷, 当兰伯特证明了它不可能是分数的时候，德国数学家林德曼在1882年解决了一个关于 π 的最重要问题. 他证明了 π 是 "超越"的, 既 π 不可能是代数方程(一个仅含x的指数项的方程)的解. 通过解决这个千古之谜，林德曼给出了"变圆为方"这一问题的结论，此问题为: 给定一个圆，如何利用一对圆规和直尺，构造一个和它面积一样的正方形. 林德曼最后证明了，这是不可能做到的. 如今化圆为方，就代表办不到的事情.

对于 π 的精确计算快速发展着. 1853年, 威廉·尚可斯宣称已经将它精确到了607位(实际上只今精确到了527位). 在当代，计算机给予了人们精确到更多位的新的动力，1949年，π 被精确到了小数点后2037位. 这是由 ENIAC 计算机经过了70个小时的计算完成的，到了2002年 π 已经精确到了令人咋舌的124100000000位, 而且这个数还在继续增长. 如果我们准备写出 π 的精确值，尚克斯的计算结果仅仅需要14米，而2002年得到的这个结果，足可以绕地球大约62圈.

人们提出并解答了关于 π 的各种问题，π 的这些数字是完全随机的吗？有没有可能预测它的展开式里有一段序列? 例如，有没有可能在展开式中出现 0123456789这样的序列，在20世纪50年代，人们认为这个问题是不可知的，人们在 π 上已知2000位展开式中没有找到这样的序列. 荷兰数学界的领军人物鲁易兹·布劳威尔认为这个问题毫无意义，因为他相信这个序列是不可能出现的，事实上，这个序列在1997年被找到了，它开始于第 17387594880 位, 或者按照上面那个比喻，它所在的位置差 5000 公里就绕完地球整一圈了. 你可以在仅仅一千公里后就可以发现 10 个连续的 6, 却要再绕地球一圈后再走6000公里才能找到 10 个连续的 7.

π 的重要性

知道 π 的这么多位有什么用，毕竟大多数计算机仅仅需要小数点后几位就够了，对于绝大多数实际应用来说，或许十位以内已经足够了，而阿基米德的近似值 22/7 也可能对大多数情况都已经足够好了. 但是, 对于 π 的广泛展开绝不是仅仅为了娱乐. 他们除了能使那些自称为"π 的朋友"的数学家们神魂颠倒外，还可以用于测试计算机性能极限.

或许关于 π 最离奇的一段故事是，印第安纳州立法院曾经试图通过一条议案，以固定它的数值. 这个故事发生在19世纪末，一个名叫古德温的医学博士，提出一条议案，希望将 π 变成"易理解的". 而这条议案面临的实际问题是: 提议者自己却没有能力知道她想要固定的值是多少. 值得庆幸的是, 在议案通过之前，他们意识到了对派进行立法是一件多么荒唐的事情. 从那一天起，政客们便远离了 π.