著名数学家冯康：开创了有限元理论

华盛顿人

父亲从无锡卸任之后，举家迁到了苏州。1923年端午节前夕，小弟冯端出生于苏州，家人因此为其取名“端”。

有谁能料到，正是这四个当年辗转四个不同地方出生的孩子，几十年后，分别在电机工程、动物研究、数学研究及物理学研究方面成长为颇有建树的大家，成为鼎鼎大名的“冯氏四兄妹”。

故园风雨

素有“人间天堂”美誉的苏州不仅是富饶的鱼米之乡，拥有“甲天下”的园林，也是一座有着2500多年历史的文化名城。作为吴文化的发祥地，古往今来，苏州文坛贤能辈出，学术人才同样甲天下。从西晋文学家陆机，宋代政治家范仲淹、明代戏曲家冯梦龙、“吴门画派”唐寅，到近代文人顾炎武、章太炎、钱穆，以致于现代人们熟知的重量级大师——新中国研制“两弹一星” 的王淦昌、著名美裔物理学家吴健雄、诺贝尔奖获得者李政道、建筑大师贝聿铭等等都出自苏州。

苏州文化气息浓厚，有被誉为苏州文化“三朵花”的评弹、昆曲、苏剧；有被誉为我国“四大名绣”之一的苏绣；有被誉为“南桃北杨”的桃花坞木刻……

冯康出生后不久，父亲从无锡卸任，带着全家定居在了苏州。父亲认为，苏州这样的文化古城，环境幽静，非常有利于孩子们的培养和教育。于是，在母亲的带领下，冯康与兄姊暂时告别了随父亲四处辗转奔波的日子，在苏州城安安乐乐地生活下来。而父亲迫于生计，只能孤身前往安庆、济南、福州等地任职。

正如父亲所期待的那样，在接下来十多年的时间里，姑苏古城的确让冯康四兄妹获得了良好的早期教育。苏州城文化底蕴的浸染，家庭环境的熏陶，使得冯家兄妹自小酷爱读书，更在大量的阅读中对数学、物理世界产生了绵延无尽的奇思妙想。

冯康四兄妹都相继在苏州中学度过了中学时代，具有千年历史的苏州中学今天更被称为“培养大家与院士的摇篮”。应该说，那一段时光是宁静而幸福的。

然而在宁静而幸福的记忆深处，弟弟冯端仍然觉察到哥哥当年有些“怪异” 的脾气。“因为我们兄弟俩的年龄比较近，所以经常在自家的院子里一起玩。踢皮球，打乒乓球……冯康的想象力非常丰富，我们玩得也非常开心。兄弟俩在一起有说有笑，似乎有着说不完的话题。可是一到了外边，出了家门，冯康就不愿意和我说话，甚至连上学、放学也不愿意和我一起走，觉得和我在一起会‘丑’了他，没面子。”冯端至今也不明白小时候哥哥为什么会那样对待自己，或许当年在冯康看来，弟弟只是一个小孩子，而自己却是个成熟的大人了。”

尽管有着这样的小插曲，却并未影响四兄妹的手足情深，他们不仅日夜嬉戏为伴，更在相互影响和启发下，于浩瀚的书海中拼命汲取知识的营养。

1937年7月7日，日本侵略军发动了“卢沟桥事变”，抗日战争全面爆发，冯家宁静而惬意的生活随之被打破。8月13日，日军大举进攻上海，打响了淞沪战役，三个月后，上海失守。

在日本占领上海的过程中，毗邻上海的苏州也遭到大肆轰炸。冯家那时住在苏州城西偏僻的巷子里，在日军猛烈轰炸中也受到波及。当时，冯康的哥哥冯焕和姐姐冯慧先后离开苏州去南京中央大学、杭州浙江大学读书，后随学校西迁内地。家中只剩下母亲、还有半年就高中毕业的他和刚刚初中毕业的弟弟冯端。

寒冬开梅

姑苏城里，一个博学儒雅的父亲，为生计奔波而经常远走异乡；一个慈爱豁达的母亲，悉心照料天资聪慧的四兄妹；沧浪亭北，故学宫旁，千年府学，流转沧桑……

第一章 姑苏往事

“少小离家老大回，乡音无改鬓毛衰。”

2008年11月13日，《绍兴日报》用大幅标题刊登了一篇名为“院士故乡行”的文章，报道了自民国以来从绍兴走出的近50位院士首次共同返乡、荣归故里的千古雅事。

从左至右：大哥冯焕博士，冯康院士，小弟冯端院士，大姐冯慧教授，姐夫叶笃正院士

在这些曾经为中国科学事业发展作出卓越贡献的耄耋长者中，有一对相濡以沫的夫妇格外引人注目，那就是中国著名物理学家冯端夫妇。而此次，冯端夫妇功成返乡还有一个重要的愿望，就是代替哥哥冯康走一走、看一看多年魂牵梦绕的家乡……

书香门第

绍兴，长江流域一座风景秀丽的江南小城，也是中国最早的历史文化名城。古往今来，这座城市便和无数的文人墨客、英雄大家联在一起。无论是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”等广为传诵的诗句，还是“从百草园到三味书屋”所描绘的成人童话，单就“卧薪尝胆” 的勾践、“鉴湖女侠”秋瑾就足以让人顶礼膜拜，更何况又走出了“学界泰斗”蔡元培、开国总理周恩来、地理学家竺可桢、经济学家马寅初、物理学家钱三强等等……除了与文人大家相连之外，清朝年间，许多绍兴的读书人还都愿意投身到官府做幕僚，“无绍不成衙”，“绍兴师爷”成为远近闻名的佳话。

冯家祖籍就在这里。

历史名城绍兴；冯家的祖籍就在这里

冯康的父亲冯祖培生于江西，是旧时代的文人，也是一位诗人。祖父曾任江西省分宜县知县，去世很早，死于任上。当时父亲的年纪还小，便被寄养在同乡的郑家，郑家对他甚好，后来两家一直成为世交。

1905年，父亲冯祖培陪伴亲友去绍兴参加县试，竟考中了案首（第一名）。在绍兴这样人才济济的地方参加科举考试，从几百个读书人中脱颖而出，考上案首是相当不容易的。怎奈“生不逢时”，那一年的县试竟成为中国科举制度中最后一次县试，第二年科举制度被正式废除。试想，如果科举没有被废除，冯祖培还能继续参加考试，中个状元或者榜眼也是有可能的。

科举制度的废除打破了父亲冯祖培通过科举考试走上仕途的梦想。为了养家糊口，冯祖培只好走绍兴文人的老路，投身作幕僚（俗称师爷）。冯祖培文学修养较高，文笔很好，擅诗词，工书法，曾经手抄成一册《秋影庵词草》，记录了他以诗言志，以诗会友的诗词。

辛亥革命后冯祖培转向仕途，担任过省厅局里的秘书、科长、县长等职务，四处奔波，曾先后在南昌、南京、六合、无锡等地任职，因此，家人也随冯祖培任所的变换而经常迁徙。冯康的母亲严素卿祖籍也是绍兴，生长在安徽望江，没有读过书，在家操持家务，抚养子女。

父亲冯祖培（左）及母亲严素卿（右）

在冯祖培四处奔波任职的几年中，冯家的四个孩子相继出生，因此冯家四兄妹的出生地也各不相同。1915年，大哥冯焕出生在南京。冯焕是父亲最喜欢的孩子，小名阿欢，取“欢”之谐音，故名“焕”。1917年，姐姐冯慧生于六合。1920年，冯康出生在江苏无锡。由于出生时身体不太好，家人希望他能健康成长，因此为他取名“康”。

寒冬开梅

国际数学界最隆重的盛会，四年一次的国际数学家大会，于2002年在北京举行。共有四千多数学家参与了这一盛会。时任国际数学家联盟主席的帕利斯（Jacob Palis）教授和江泽民、温家宝等中国国家领导人出席了在人民大会堂举行的开幕式。这也是这一具有百年历史的盛会第一次在发展中国家举行。在开幕式上，帕利斯这样评价：

冯康获得的1997年国家自然科
学一等奖证书

国际数学界最隆重的盛会，四年一次的国际数学家大会，于2002年在北京举行。共有四千多数学家参与了这一盛会。时任国际数学家联盟主席的帕利斯（Jacob Palis）教授和江泽民、温家宝等中国国家领导人出席了在人民大会堂举行的开幕式。这也是这一具有百年历史的盛会第一次在发展中国家举行。在开幕式上，帕利斯这样评价：“中国数学科学这棵大树是由陈省身、华罗庚和冯康，以及谷超豪、吴文俊和廖山涛，及最近的丘成桐、田刚等人培育和奠基的。”

2008年12月15日，国家主席胡锦涛在纪念中国科协成立50周年大会上发表讲话时说：“我国广大科技工作者勤于思考、勇于实践，敢于超越、不懈探索，无私奉献、团结协作，在短短十几年间，创造了一个又一个科技奇迹。我们取得了有限元方法、层子模型、人工合成牛胰岛素等具有世界先进水平的科学成果……这些重大科技成果，极大增强了我国综合国力，提高了我国国际地位。”胡锦涛主席特别提到了有限元方法，并将其放在众多科学成果中的第一位，也表明国家对于冯康和他的团队所作出的重大贡献给予了充分的肯定。

冯康出生于素有“江南古城”之称的江苏无锡，小学、中学时代是在具有 “人间天堂”美誉的苏州度过。青年时期恰逢抗日的烽火年代，就读重庆的国立中央大学；毕业后先后执教于复旦、清华两大知名学府。冯康曾是中国科学院数学所最早的一批研究学者，也曾坐镇计算数学研究所和科学院计算中心统帅精英骨干一展风华。十年浩劫，受尽屈辱始终抱定科学信念；改革春天，作为首席科学家，指挥新生力量拼搏国家攀登计划。仅凭有限元与辛算法这两项科学领域的创新与突破，便足以让冯康的名字载入世界著名数学家的史册；也正是这两项杰出贡献，使得中国扬眉吐气，得以跻身于应用及计算数学世界领先的国家之列。

有人说冯康的成就来源于一门四杰家庭背景的熏陶；有人说冯康的成就得益于电机、物理、数学等多学科广泛知识的积淀；也有人说冯康的成就在于其对数学研究锲而不舍的上下求索，以及 “春蚕到死丝方尽” 的献身精神……

纵观冯康一生的故事，我们似乎可以看到这些闪烁的光影，然而，细细品味，却发现冯康的故事更是一个典型而又充满东方色彩的中国故事。自幼经历家境由盛转衰的起落依然没有放弃对知识的渴求而坚持自学；花样年华遭遇突如其来的病痛，于病榻上依然痴迷阅读数学经典；科学研究成果一度曾被忽视，仍坚持不懈，继续求索钻研；苦尽甘来终赢得声名鹊起，却又惹来无数争议与蜚短流长……

有人称他为数学学霸，有人称他为院士专家；有人说他锋芒太露，也有人说他亲切慈祥……

冯康的故事包含了太多中国人的隐忍与坚强，也包含了太多中国文化的禁忌与哀伤。或许这就是冯康带给人们的复杂情感，以致于他原本成就于一个英雄辈出的年代，却没有被时代赋予英雄的光环。

于是关于冯康的名字以及冯康的故事也没有广为流传。

尽管如此——科学不会忘记，世界不会忘记，那个“瘦削的身影，闪烁着智慧的眼神，以及永远充满活力的面孔”

这就是让人敬仰的——冯康。

寒冬开梅

冯康: 一位杰出数学家的故事

纪念冯康院士诞辰90周年

汤涛 姚楠 杨蕾

一个科学家最大的本领就在于化复杂为简单，用简单的方法去解决复杂的问题。
— 冯康　

老人走了，世界出奇的宁静，没有轰轰烈烈的告别，没有连绵起伏的花海，也没有一浪接一浪的赞美声，而我们却看到，天边陨落了一颗星……

开篇：冯康传奇

纵观冯康一生的故事，我们似乎可以看到这些闪烁的光影，然而细细品味，却发现冯康的故事更是一个于平淡中抒写传奇的中国故事。

1993年8月17日，炎炎夏日里的北京，一个平淡的午后，一位数学界传奇的老人静静地走了。

尽管这是一个在中国发展历史上并不被人们常常记起的日子，然而正是这一天，却记下了一代中国数学大师的陨没。

作为中国应用数学的领军人物，老人一生成就卓著，在他辞世之时却没有得到太多的光环。直至几年甚至十几年之后，才被赋予荣耀与肯定。

见证中国过半世纪风雨沧桑，老人一生又充满传奇，虽饱经磨难、屡陷困境却又峰回路转，屡创他人之先。

这位传奇的老人，就是中国著名数学家——冯康。

冯康，虽然在普通百姓中并不像华罗庚、陈景润那样家喻户晓，但在数学领域，却是众所周知。

早在1981年，法国著名科学家，后来任国际数学家联盟主席及法国科学院院长的利翁斯（J.L.Lions）院士就对冯康和他领导的团队关于有限元方法的重大发现给予了很高的评价，他说：“有限元方法意义重大，中国学者在对外隔绝的环境下独立创始了有限元方法，在世界上属于最早之列。今天这一贡献已为全人类所共享。”

冯康去世不久后的1993年年底，美国著名科学家、前美国总统科学顾问、美国原子能委员会计算和应用数学中心主任、沃尔夫奖（1987）和阿贝尔奖（2005）获得者彼得•拉克斯（Peter Lax）院士专门撰文悼念冯康，发表在美国《工业与应用数学会通讯》上。他指出：“1993年8月17日，中国的杰出应用数学家冯康先生突然与世长辞。七十三载悠悠岁月，成就了他杰出的事业生涯，也走过了一段艰辛的生活旅程。五十年代后期，冯康先生独立于西方国家在应用数学方面的发展，创造了有限元方法理论。八十年代末期，他又提出并发展了求解哈密顿型方程的辛几何算法。冯康先生对于中国科学事业发展所做出的贡献是无法估量的。他通过自身的努力钻研并带领学生刻苦攻坚，将中国置身于应用数学及计算数学的世界版图上。”

新鲜人

自60年代以来，有限元方法对于求解有界区域的椭圆边值问题取得了极大的成功，被广泛应用于工程技术和科学计算中，是计算数学的重大成就。但是有些实际计算问题的计算区域是无界的，用有界区域来近似无界区域时，为达到所需的精度，会使计算量大大增加，边界元方法是解决此问题的一种有效途径。
关于对微分方程作边界归化的思想，早在上一世纪就已出现，但应用于数值计算却是本世纪60年代才开始，这就是边界元方法，即将微分方程归化为边界上的积分方程。
由于冯康（右）
归化的方法不同，各种边界元方法的数值效果也不尽相同。冯康根据这类问题的物理特性，引用阿达马（Hadamard）型超奇异核，提出自然归化的概念，即通过自然归化后，能量不变，从而保持了问题的本质不变。在这个概念下，他提出了自然边界元方法。该方法除所有边界元方法共有的优点外，还具备许多独特之处：由于通过自然归化后能量不变，使原来椭圆型边值问题的性质都保留，从而保证了自然积分方程的解的存在性、唯一性及稳定性，并且也保证了与有限元方法自然而直接地耦合，由此形成一个有限元与边界元兼容并蓄而自然耦合的整体性系统，能够灵活适应于大型复杂问题，便于分解计算。这是当前与并行计算相关而兴起的区域分解方法的先驱工作。作为特例，冯康对亥姆霍兹（Helmholtz）方程建立了与经典的无穷远处的索墨菲尔德（Sommerfeld）辐射条件相对应的有穷远处的积分型辐射条件，具有理论与应用的价值。冯康倡导的自然边界元方法被国内外专家称为当今国际上边界元方法的三大流派之一，这一方向已由他的学生和其他学者在继续发展。
哈密顿体系哈密顿算法的创立
经典力学有3种等价的数学形式体系：牛顿（Newton）体系、拉格朗日（Lagrange）体系、哈密顿（Hamilton）体系，其中哈密顿体系具有突出的对称形式，一直是物理学理论研究的数学工具。一切守恒的真实物理过程都可以表示为哈密顿体系，无论是经典性、量子性或相对论性的，无论自由度数为有限或无限，总能表现为适当的哈氏形式。哈氏体系的数学基础是辛几何。辛几何是现代物理和力学的基础，它与欧氏几何一样起着重要作用。
哈密顿体系的一个重要问题是稳定性问题，在几何上的特点是它的解在相空间上是保面积的，其特征方程的根是纯虚数的。所以不能用经典的渐近稳定理论来研究它们。长期以来，国际上对于这一具有重要物理意义的哈密顿方程的计算方法几乎是空白。这种状况与哈氏系的普适性与重要性相对照是很不相称的。
冯康于1984年在微分几何和微分方程国际会议上发表的论文《差分格式与辛几何》，首次系统地提出哈密顿方程和哈密顿算法（即辛几何算法或辛几何格式），提出从辛几何内部系统构成算法并研究其性质的途径，提出了他对整个问题领域的独特见解，从而开创了哈密顿算法这一富有活力及发展前景的新领域，这是计算物理、计算力学和计算数学的相互结合渗透的前沿界面。
以中国科学事业发展为己任
冯康
冯康由于在抗战初期患骨结核，并因在困难环境下失医，使脊椎致残，给他的生活带来过不少折磨和痛苦，可是他硬顶了过来。凡与他接触或共事的人都无不为他那种为祖国科学事业不倦的孜孜追求的精神所折服。他对自己的生活无所求，想到的、做到的都是科学事业。尽管他早已在1965年就取得了创始有限元法的国际公认的重大成果，但是并不满足。他的强烈的进取心促使他一直走在世界计算数学队伍的前列。
冯康学识渊博，对于物理学、数学、计算机科学等领域都有较深的知识。在科学研究上，他总是能把握住事物的本质，运用辩证法进行分析，发现和抓住在理论上和应用上都有广阔的发展前景的课题，提出独到的思想见解，并应用过硬的基本功去解决具体困难，成功地开创新方向、新道路，开辟一个又一个有重要实际意义的新领域，带领一批又一批人在新方向上做出卓越的贡献。
在科研工作中，他提倡理论联系实际和对科学的严谨态度。他对于理论上的问题一丝不苟，对于每提出的一种计算方法都是在实际计算中检验，对于经过考验的好的计算方法都努力推广使用，使其变为生产力，为四化建设服务。他不仅自己身体力行，而且对于科研人员也是这样要求。
2008 年12 月15 日，国家主席胡锦涛在纪念中国科协成立50 周年大会上发表讲话时说：“我国广大科技工作者勤于思考、勇于实践，敢于超越、不懈探索，无私奉献、团结协作，在短短十几年间，创造了一个又一个科技奇迹。我们取得了有限元方法、层子模型、人工合成牛胰岛素等具有世界先进水平的科学成果……这些重大科技成果，极大增强了我国综合国力，提高了我国的国际地位。”
有限元方法，被列为众多科学成果中的第一位，表明了国家对冯康和他的团队所做出的重大贡献给予的充分肯定。

主要论著[url=]编辑[/url]1 Feng Kang.Minimally almost periodic topological groups.Science Record（Academia Sinica），1950，3（2）：161-166.
2 冯康.广义函数论.数学进展，1955，1（3）：405-590.
3 冯康.广义函数的对偶关系.数学进展，1957，3（1）：201-208.
4 冯康.广义Mellin变换.数学学报，1957，7（2）：242-267.
5 冯康.基于变分原理的差分格式.应用数学与计算数学，1965，2（4）：237-261.
6 冯康.组合流形上的椭圆方程和组合弹性结构.计算数学，1979，1（3）：199-208.
7 冯康.间断有限元理论.计算数学，1979，1（4）：378-385.
8 冯康.微分和积分方程、有限和无限元.计算数学，1980，2（1）：100-105.
9 冯康，石钟慈.弹性结构的数学理论.北京：科学出版社，1981.
10 Feng Kang. Canonical boundary reduction and finite element method.Proc. of Symposium on Finite Element Method (Hefei), 1981: 330—352; Beijing and New york: Science Press and Gordon and Breach, 1982.

新鲜人

冯康在科学上的贡献，先后获得1978年全国科学大会重大成果奖，全国自然科学奖二等奖，科学院自然科学奖一等奖及全国科技进步二等奖。
冯康除了本人的研究工作外，还承担了众多的行政工作、各种业务指导工作，以及培养年轻优秀人才的工作。在他的指导与关怀下，中国科学院计算中心计算数学专业逐步形成了一个年轻的优秀人才梯队，其中，1980年与1988年两度全国最年轻的研究员都出在计算中心，都是在他的亲自关怀下成长的。同时冯康还为全国计算数学学科的发展多次提出重要的指导性意见，如，创办全国性的计算数学学术刊物，成立全国计算数学学会；向中央领导同志提出紧急建议，呼吁社会各方面重视科学与工程计算，倡议成立科学与工程计算开放实验室，倡议将科学与工程计算列入国家基础研究重点项目等等。特别是，他论证了“实验、理论、计算已成为科学方法上相辅相成的而又相对独立，可以相互补充代替而又彼此不可缺少的三个重要环节”，指出“科学与工程计算作为一门工具性、方法性、边缘交叉性的新科学已经开始了自己的新发展，它包括了近年不断形成的各个计算性学科，如计算数学、计算物理、计算力学、计算化学以及计算地震学等各种计算性工程学。计算数学则是它们的联系纽带和共性基础”。说明了计算手段对于科学技术进步的重要性和迫切性，从而在科学技术发展的战略高度上阐明了科学与工程计算的地位和作用，这将有力地促进计算数学在我国的四个现代化中发挥它应有的作用。后来，科学与工程计算开放实验室建成，“科学与工程计算的方法和理论”被列为“八五”期间国家重点关键基础研究项目，冯康为该项目的首席专家。

科学成就[url=]编辑[/url]拓扑群及广义函数论研究
在1957年以前，冯康
冯康主要从事基础数学研究。他最早的工作（没有发表）是辛群的生成子和四维数代数基本定理的拓扑证明。接着他研究殆周期拓扑群理论，这是1934年由J.冯·诺依曼（von Neumann）创始的，与酉阵表现密切相连。按照群所有的酉阵表现的多寡分出两种极端类型：极大殆周期群——有“足够多”的酉阵表现；极小殆周期群——没有非平凡酉阵表现。1936年A.韦伊（Weil）及H.弗勒登塔尔（Freudenthal）解决了极大群的表征问题，它们就是紧群与欧几里得向量群的直积。1940年冯·诺依曼及E.威格纳（Wigner）对于极小群作出了重要进展，但其表征问题一直没有解决。冯康在1950年率先对线性李（Lie）群（及其覆盖群）解决了这一问题：没有非平凡酉阵表现的充要条件是“本质上”不可交换与非紧。这一成果在后来酉表现论和物理应用中愈显出其重要性。
50年代初L.施瓦尔茨（Schwartz）提出广义函数系统性理论，引起世人重视。1954年起，冯康开展这一领域的研究，发表了《广义函数论》长篇综合性论文，也含有一些自己的新成果，推动了这项理论在我国的发展。他还建立了广义函数中离散型函数（δ函数及其导数）与连续型函数之间的对偶定理。他应华罗庚教授的建议，建立了广义梅林变换理论，对于偏微分方程和解析函数论等均有应用，国外迟至60年代才出现类似的工作。
有限元方法的创始
50年代末60年代初，我国的计算数学刚起步不久，在对外隔绝的情况下，冯康带领一个小组的科技人员走出了从实践到理论，再从理论到实践的发展我国计算数学的成功之路。当时的研究解决了大量的有关工程设计应力分析的大型椭圆方程计算问题，积累了丰富而有效的经验。冯康对此加以总结提高，作出了系统的理论结果。1965年冯康在《应用数学与计算数学》上发表的论文《基于变分原理的差分格式》，是中国独立于西方系统地创始了有限元法的标志。
该文提出了对于二阶椭圆型方程各类边值问题的系统性的离散化方法。为保证几何上的灵活适应性，对区域Ω可作适当的任意剖分，取相应的分片插值函数，它们形成一个有限维空间S，是原问题的解空间即C.Л.索伯列夫（Соболев）广义函数空间H1（Ω）的子空间。基于变分原理，把与原问题等价的在H1（Ω）上的正定二次泛函数极小问题化为有限维子空间S上的二次函数的极小问题，正定性质得到严格保持。这样得到的离散形式叫做基于变分原理的差分格式，即当今的标准有限元方法。文中给出了离散解的稳定性定理、逼近性定理和收敛性定理，并揭示了此方法在边界条件处理、特性保持、灵活适应性和理论牢靠等方面的突出优点。这些特别适合于解决复杂的大型问题，并便于在计算机上实现。
自然边界归化及自然边界元方法的提出